exemple de calcul de la matrice hessienne

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December 16, 2018

Pour vous connecter et utiliser toutes les fonctionnalités de Khan Academy, veuillez activer JavaScript dans votre navigateur. Cela implique que, au minimum local (respectivement, un maximum local), le Hessian est positif-semi-défini (respectivement, négatif semi-défini). Si elle est positive, les valeurs propres sont à la fois positives, ou les deux négatives. Les matrices de Hessian sont employées dans les problèmes d`optimisation à grande échelle dans les méthodes de Newton-type parce qu`elles sont le coefficient du terme quadratique d`une expansion locale de Taylor d`une fonction. L`informatique et le stockage de la matrice de hessian complète prend la mémoire Θ (N2), ce qui est impossible pour les fonctions de haute dimension telles que les fonctions de perte des réseaux neuronaux, les champs aléatoires conditionnels, et d`autres modèles statistiques avec un grand nombre de paramètres. Plus précisément, les conditions des signes sont imposées sur la séquence des principaux mineurs majeurs (déterminants des sous-matrices justifiées en haut à gauche) de la Hesse bordée, pour laquelle les premiers 2 millions principaux mineurs sont négligés, le plus petit mineur consistant en les premières lignes tronquées de 2m + 1 et les colonnes, le suivant composé de la première tronquée 2M + 2 lignes et des colonnes, et ainsi de suite, avec le dernier étant l`ensemble de Hesse bordée; Si 2m + 1 est plus grand que n + m, alors le plus petit principal mineur majeur est le Hessian lui-même. Une fois de plus, il devrait être intuitivement clair que les deuxièmes dérivés partiels de $f $ seront continus sur tous $ mathbb{R} ^ 3 $, donc le théorème de Clairaut s`applique une fois de plus. Bien que simple à programmer, ce schéma d`approximation n`est pas numériquement stable puisque r doit être réduit pour éviter toute erreur due au terme O (r) {displaystyle {mathcal {O}} (r)}, mais en diminuant la précision dans le premier terme. L`exemple suivant démontrera clairement les faits et expliquera son utilisation. La matrice de Hessian est couramment utilisée pour exprimer les opérateurs de traitement d`image dans le traitement d`image et la vision d`ordinateur (voir le Laplacian de Gaussian (LoG) le détecteur d`objet BLOB, le déterminant du détecteur de blob de Hessian (DoH) et l`espace d`échelle). Supposons qu`une fonction soit définie par. Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons du mal à charger des ressources externes sur notre site Web. Par exemple, la maximisation de f (x1, x2, x3) soumise à la contrainte x1 + x2 + x3 = 1 peut être réduite à la maximisation de f (x1, x2, 1 – x1 – x2) sans contrainte.

Les règles ci-dessus énonçant que les extrema sont caractérisées (parmi les points critiques avec un non-singulier Hessian) par un positif-défini ou négatif-défini Hessian ne peut pas s`appliquer ici puisque un Hessian bordé ne peut ni être négatif-défini ni positif-défini, As z T H z = 0 {displaystyle mathbf {z} ^ {mathsf {T}} mathbf {H} mathbf {z} = 0} si z {displaystyle mathbf {z}} est un vecteur dont la seule entrée non nulle est la première. Par conséquent, le point $ (-4, 6) $ est un point critique. Par conséquent, le point $ (0,-2) $ est un point critique. Pour de telles situations, des algorithmes de Newton et de quasi-Newton ont été développés. Alors nous savons que l`équation eqref{cond1} est satisfaite. Sinon, il est non-dégénéré, et appelé un point critique Morse de f. La dérivée de $f $ est begin{align *} D f (x, y) = left [3x ^ 2 + 2xy quad x ^ 2-2y-4 droite]. Les points critiques sont donc $ (0,0) $ et $ (0,2) $.

Si le Hessian est positif défini à x, alors f atteint un minimum local isolé à x. justifiez votre réponse. Les dérivés mixtes de f sont les entrées de la diagonale principale dans le Hessian. Ainsi, nous avons deux solutions de l`équation eqref{cond2} pour le cas 2. Pour une brève connaissance des matrices définies et indéfinies, étudiez-les en premier. Supposons que f: C n ⟶ C {displaystyle fcolon mathbb {C} ^ {n} longrightarrow mathbb {C}}, et nous écrivons f (z 1,…, z n) {displaystyle fleft (z_ {1}, ldots, z_ {n} right)}.